Akar-Akar Suku Banyak

Akar-akar suatu suku banyak merupakan nilai yang menyebabkan suku banyak tersebut bernilai nol. Akar-akar suatu suku banyak dapat diperoleh dengan cara memfaktorkan suku banyak tersebut. Misalkan kita memiliki persamaan suku banyak sebagai berikut:

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ….+ a2xn + a1x + ao = 0

Untuk mencari akar-akar rasional suku banyak maka kita harus bisa memfaktorkannya. Ada beberapa cara yang dapat membantu kita untuk memfaktorkan suku banyak, yaitu :

  • Jika ao= 0 maka salah satu akar suku banyak adalah 0.
  • Jika jumlah koefisisen suku banyak adalah 0 maka satu akar suku banyak adalah 1 (suku banyak bisa dibagi  x – 1)
  • Jika jumlah koefisien x yang berpangkat genap sama denga jumlah koefisin x yang berpangkat ganjil maka satu akar suku banyak adalah -1 (suku banyak bisa dibagi  x + 1)

 


Menentukan Faktor-Faktor Suatu Suku Banyak:

Langkah 1
Jika (x – k) adalah faktor dari suku banyak f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0 maka nilai-nilai k yang mungkin adalah nilai faktor-faktor bulat dari a0.

Langkah 2
Dengan cara coba-coba, substitusikan nilai x = k sehingga diperoleh f(x) = 0. Jika demikian maka (x – k) adalah faktor dari f(x). Akan tetapi jika f(k) ≠ 0 maka (x – k) bukan faktor dari f(x).

Langkah 3
Setelah dipeeroleh sebuah faktor (x – k), faktor-faktor yang lain dapat ditentukan dari suku banyak hasil bagi f(x) oleh (x – k).

 

Sifat Akar-akar Suku Banyak

Pada persamaan berderajat 3:

ax3 + bx2 + cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3

dengan sifat-sifat:

  • Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 = – b/a
  • Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a
  • Hasil kali 3 akar: x1.x2.x3 = – d/a

Pada persamaan berderajat 4:

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x1, x2, x3, x4

dengan sifat-sifat:

  • Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 + x4 = – b/a
  • Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/a
  • Jumlah 3 akar: x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x2.x3.x4 = – d/a
  • Hasil kali 4 akar: x1.x2.x3.x4 = e/a

Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk persamaan berderajat 5 dan seterusnya

(amati pola:  –b/a, c/a, –d/a , e/a, …)

 

Contoh soal:

  1. Tentukan akar-akar rasional suku banyak x4 – 6x3 + 11x2 – 6x = 0

Jawab :

Nilai ao = 0 maka salah satu akarnya adalah 0 sehingga

x(x3 – 6x2 + 11x – 6) = 0

Sekarang kita selesaikan polinom derajat 3 yang ada di dalam kurung

jumlah koefisien 1 – 6 + 11 – 6 = 0 sehingga salah satu akarnya adalah 1, maka suku banyak kita bagi dengan x – 1

Dengan demikian suku banyak bisa difaktorkan menjadi

x(x – 1)(x2 – 5x + 6) = 0

x(x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0

x = 0 atau x = 1 atau x = 2 atau x = 3

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {0, 1, 2, 3}

 

  1. Tentukan akar-akar persamaan suku banyak f(x) = x3 – 6x2 + 9x – 2 = 0

 Jawab :

f(x) = (x) = x3 – 6x2 + 9x – 2 = 0, a3 = 1 dan a0 =-2
Akar-akar yang mungkin adalah -2, -1, 1 dan 2.
Lalu, menguji nilai-nilai akar yang mungkin.

  • f(-2) = (-2)3 – 6(-2)2 + 9(-2) – 2 = -52 ≠ 0, maka -2 bukan akar f(x) = 0
  • f(-1) = (-1)3 – 6(-1)2 + 9(-1) – 2 = -18 ≠ 0, maka -1 bukan akar f(x) = 0
  • f(1) = (1)3 – 6(1)2 + 9(1) – 2 = 2 ≠ 0, maka 1 bukan akar f(x) =0
  • f(2) = (2)3 – 6(2)2 + 9(2) – 2 = 0, maka 2 adalah akar dari f(x) = 0

 

  1. Salah satu akar persamaan x3 + 5x2 – 9x – n = 0 berlawanan dengan akar lainnya maka nilai x12 + x22 + x32 sama dengan …

 Jawab:

 Pembahasan Jika suku banyak berderajat tiga memiliki akar x1, x2, dan x3, maka berlaku :

x1 + x2 + x3 = -b/a

x1.x2.x3 = -d/a

x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a

Karena salah satu akar berlawanan dengan akar lainnya, maka kita dapat memisalkan x1 = -x2.

 Dari x3 + 5x2 – 9x – n = 0 diperoleh a = 1, b = 5, c = -9 dan d = -n.

⇒ x1 + x2 + x3 = -5/1 = -5

⇒ -x2 + x2 + x3 = -5

⇒ x3 = -5.

Selanjutnya dari rumus no 3 diperoleh :

⇒ x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = -9/1 = -9

⇒ x1.x2 + x3(x1 + x2) = -9

⇒ x1.x2 + -5(-x2 + x2) = -9

⇒ x1.x2 = -9

⇒ -x2.x2 = -9

⇒ x22 = 9

⇒ x2 = 3 , maka x1 = -3

 

Dengan demikian, maka: x12 + x22 + x32 = (-3)2 + 32 + (-5)2 = 9 + 9 + 25 = 43

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Daftar Pustaka

 

http://supermatematika.com/akar-akar-rasional-suku-banyak

http://akbarpelatnas11.blogspot.co.id/

http://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2014/12/cara-menentukan-akar-suku-banyak.html

http://rumus-matematika.com/suku-banyak-polinomial/

http://www.johanakhmadin.web.id/2015/10/pembahasan-soal-suku-banyak.html

http://www.rumus.web.id/matematika/rumus-suku-banyak-polinom-matematika/

http://dovanavycarella.blogspot.co.id/2014/11/contoh-soal-suku-banyak-1-fx-3x-3-2x-10.html

 

 

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s